椭圆和直线、圆一样,是图形学领域中的一种常见图元,椭圆的生成算法(光栅转换算法)也是图形学软件中最常见的生成算法之一。在平面解析几何中,椭圆的方程可以描述为(x – x0)2 / a2+ (y – y0)2 / b2 = 1,其中(x0, y0)是圆心坐标,a和b是椭圆的长短轴,特别的,当(x0, y0)就是坐标中心点时,椭圆方程可以简化为x2 / a2 + y2 / b2 = 1。在计算机图形学中,椭圆图形也存在在点阵输出设备上显示或输出的问题,因此也需要一套光栅扫描转换算法。为了简化,我们先考虑圆心在原点的椭圆的生成,对于中心不是原点的椭圆,可以通过坐标的平移变换获得相应位置的椭圆。
在进行扫描转换之前,需要了解一下椭圆的对称性,如图(1)所示:
图(1)椭圆的对称性
中心在原点。焦点在坐标轴上的标准椭圆具有X轴对称、Y轴对称和原点对称特性,已知椭圆上第一象限的P点坐标是(x, y),则椭圆在另外三个象限的对称点分别是(x, -y)、(-x, y)和(-x, -y)。因此,只要画出第一象限的四分之一椭圆,就可以利用这三个对称性得到整个椭圆。
在光栅设备上输出椭圆有很多种方法,可以根据直角平面坐标方程直接求解点坐标,yekeyii利用极坐标方程求解,但是因为涉及到浮点数取整,效果都不好,一般都不使用直接求解的方式。本文就介绍几种计算机图形学中两种比较常用的椭圆生成方法:中点画椭圆算法和Bresenham椭圆生成算法。
1、 中点画椭圆法
中点在坐标原点,焦点在坐标轴上(轴对齐)的椭圆的平面集合方程是:
x2 / a2 + y2 / b2 = 1,也可以转化为如下非参数化方程形式:
F(x, y) = b2x2 + a2y2 - a2b2 = 0 (方程 1)
无论是中点画线算法、中点画圆算法还是本节要介绍的中点画椭圆算法,对选择x方向像素Δ增量还是y方向像素Δ增量都是很敏感的。举个例子,如果某段圆弧上,x方向上增量+1个像素时,y方向上的增量如果 < 1,则比较适合用中点算法,如果y方向上的增量 > 1,就会产生一些跳跃的点,最后生成的光栅位图圆弧会有一些突变的点,看起来好像不在圆弧上。因此,对于中点画圆弧算法,要区分出椭圆弧上哪段Δx增量变化显著,哪段Δy增量变化显著,然后区别对待。由于椭圆的对称性,我们只考虑第一象限的椭圆圆弧,如图(2)所示:
图(2)第一象限椭圆弧示意图
定义椭圆弧上某点的切线法向量N如下:
对方程1分别求x偏导和y偏导,最后得到椭圆弧上(x,y)点处的法向量是(2b2x, 2a2y)。dy/dx = -1的点是椭圆弧上的分界点。此点之上的部分(橙褐色部分)椭圆弧法向量的y分量比较大,即:2b2(x + 1) < 2a2(y – 0.5);此点之下的部分(蓝紫色部分)椭圆弧法向量的x分量比较大,即:2b2(x + 1) > 2a2(y – 0.5)。
对于图(2)中橙褐色标识的上部区域,y方向每变化1个单位,x方向变化大于一个单位,因此中点算法需要沿着x方向步进画点,x每次增量加1,求y的值。同理,对于图(2)中蓝紫色标识的下部区域,中点算法沿着y方向反向步进,y每次减1,求x的值。先来讨论上部区域椭圆弧的生成,如图(3)所示:
图(3)中点画椭圆算法对上部区域处理示意图
假设当前位置是P(xi, yi),则下一个可能的点就是P点右边的P1(xi+1, yi)点或右下方的P2(xi+1, yi-1)点,取舍的方法取决于判别式di,di的定义如下:
di = F(xi+1, yi-0.5) = b2(xi+1)2 + a2(yi-0.5)2 – a2b2
若di < 0,表示像素点P1和P2的中点在椭圆内,这时可取P1为下一个像素点。此时xi+1 = xi + 1,yi+1 = yi,代入判别式di得到di+1:
di+1 = F(xi+1+1, yi+1-0.5) = b2(xi+2)2 + a2(yi-0.5)2 – a2b2 = di + b2(2xi + 3)
计算出di的增量是b2(2xi + 3)。同理,若di >= 0,表示像素点P1和P2的中点在椭圆外,这时应当取P2为下一个像素点。此时xi+1 = xi + 1,yi+1 = yi - 1,代入判别式di得到di+1:
di+1 = F(xi+1+1, yi+1-0.5) = b2(xi+2)2 + a2(yi-1.5)2 – a2b2 = d1 + b2(2xi+3) + a2(-2yi+2)
计算出di的增量是b2(2xi+3)+a2(-2yi+2)。计算di的增量的目的是减少计算量,提高算法效率,每次判断一个点时,不必完整的计算判别式di,只需在上一次计算出的判别式上增加一个增量即可。
接下来继续讨论下部区域椭圆弧的生成,如图(4)所示:
图(4)中点画椭圆算法对下部区域处理示意图
假设当前位置是P(xi, yi),则下一个可能的点就是P点左下方的P1(xi -1, yi-1)点或下方的P2(xi, yi-1)点,取舍的方法同样取决于判别式di,di的定义如下:
di = F(xi+0.5, yi-1) = b2(xi+0.5)2 + a2(yi-1)2 – a2b2
若di < 0,表示像素点P1和P2的中点在椭圆内,这时可取P2为下一个像素点。此时xi+1 = xi + 1,yi+1 = yi - 1,代入判别式di得到di+1:
di+1 = F(xi+1+0.5, yi+1-1) = b2(xi+1.5)2 + a2(yi-2)2 – a2b2 = di + b2(2xi+2)+a2(-2yi+3)
计算出di的增量是b2(2xi+2)+a2(-2yi+3)。同理,若di >= 0,表示像素点P1和P2的中点在椭圆外,这时应当取P1为下一个像素点。此时xi+1 = xi,yi+1 = yi - 1,代入判别式di得到di+1:
di+1 = F(xi+1+0.5, yi+1-1) = b2(xi+0.5)2 + a2(yi-2)2 – a2b2 = d1 + a2(-2yi+3)
计算出di的增量是a2(-2yi+3)。
中点画椭圆算法从(0, b)点开始,第一个中点是(1, b – 0.5),判别式d的初始值是:
d0 = F(1, b–0.5) = b2 + a2(-b+0.25)
上部区域生成算法的循环终止条件是:2b2(x + 1) >= 2a2(y – 0.5),下部区域的循环终止条件是y = 0,至此,中点画椭圆算法就可以完整给出了:
20void MP_Ellipse(int xc , int yc , int a, int b)
21{
22 double sqa = a * a;
23 double sqb = b * b;
24
25 double d = sqb + sqa * (-b + 0.25);
26 int x = 0;
27 int y = b;
28 EllipsePlot(xc, yc, x, y);
29 while( sqb * (x + 1) < sqa * (y - 0.5))
30 {
31 if (d < 0)
32 {
33 d += sqb * (2 * x + 3);
34 }
35 else
36 {
37 d += (sqb * (2 * x + 3) + sqa * (-2 * y + 2));
38 y--;
39 }
40 x++;
41 EllipsePlot(xc, yc, x, y);
42 }
43 d = (b * (x + 0.5)) * 2 + (a * (y - 1)) * 2 - (a * b) * 2;
44 while(y > 0)
45 {
46 if (d < 0)
47 {
48 d += sqb * (2 * x + 2) + sqa * (-2 * y + 3);
49 x++;
50 }
51 else
52 {
53 d += sqa * (-2 * y + 3);
54 }
55 y--;
56 EllipsePlot(xc, yc, x, y);
57 }
58}
|
EllipsePlot()函数利用椭圆的三个对称性,一次完成四个对称点的绘制,因为简单,此处就不再列出代码。
2、 Bresenham算法
中点画椭圆法中,计算判别式d使用了浮点运算,影响了椭圆的生成效率。如果能将判别式规约到整数运算,则可以简化计算,提高效率。于是人们针对中点画椭圆法进行了多种改进,提出了很多种中点生成椭圆的整数型算法,Bresenham椭圆生成算法就是其中之一。
在生成椭圆上部区域时,以x轴为步进方向,如图(5-a)所示:
图(5)Bresenham椭圆生成算法判别式
x每步进一个单位,就需要在判断y保持不变还是也步进减1,bresenham算法定义判别式为:
D = d1 – d2
如果D < 0,则取P1为下一个点,否则,取P2为下一个点。采用判别式D,避免了中点算法因y-0.5而引入的浮点运算,使得判别式规约为全整数运算,算法效率得到了很大的提升。根据椭圆方程,可以计算出d1和d2分别是:
d1 = a2(yi2 – y2)
d2 = a2(y2 – yi+12)
以(0, b)作为椭圆上部区域的起点,将其代入判别式D可以得到如下递推关系:
Di+1 = Di + 2b2(2xi + 3) (Di < 0)
Di+1 = Di + 2b2(2xi + 3) – 4a2(yi - 1) (Di >= 0)
D0 = 2b2 – 2a2b + a2
在生成椭圆下部区域时,以y轴为步进方向,如图(5-b)所示,y每步进减一个单位,就需要在判断x保持不变还是步进加一个单位,对于下部区域,计算出d1和d2分别是:
d1 = b2(xi+12 – x2)
d2 = b2(x2 – xi2)
以(xp, yp)作为椭圆下部区域的起点,将其代入判别式D可以得到如下递推关系:
Di+1 = Di – 4a2(yi - 1) + 2a2 (Di < 0)
Di+1 = Di + 2b2(xi + 1) – 4a2(y - 1) + 2a2 + b2 (Di >= 0)
D0 = b2(xp + 1)2 +b2xp2 - 2a2b2 + 2a2(yp - 1)2
根据以上分析,Bresenham椭圆生成算法的实现就比较简单了:
61void Bresenham_Ellipse(int xc , int yc , int a, int b)
62{
63 int sqa = a * a;
64 int sqb = b * b;
65
66 int x = 0;
67 int y = b;
68 int d = 2 * sqb - 2 * b * sqa + sqa;
69 EllipsePlot(xc, yc, x, y);
70 int P_x = ROUND_INT( (double)sqa/sqrt((double)(sqa+sqb)) );
71 while(x <= P_x)
72 {
73 if(d < 0)
74 {
75 d += 2 * sqb * (2 * x + 3);
76 }
77 else
78 {
79 d += 2 * sqb * (2 * x + 3) - 4 * sqa * (y - 1);
80 y--;
81 }
82 x++;
83 EllipsePlot(xc, yc, x, y);
84 }
85
86 d = sqb * (x * x + x) + sqa * (y * y - y) - sqa * sqb;
87 while(y >= 0)
88 {
89 EllipsePlot(xc, yc, x, y);
90 y--;
91 if(d < 0)
92 {
93 x++;
94 d = d - 2 * sqa * y - sqa + 2 * sqb * x + 2 * sqb;
95 }
96 else
97 {
98 d = d - 2 * sqa * y - sqa;
99 }
100 }
101}
|
总结一下,本文介绍了两种计算机图形学中常见的椭圆生成算法,实际上还有很多种改进算法,包括提高效率,引入反走样技术等等,但那已经不是本文的重点,能把算法的基本原理讲清楚才是本文的目的。
参考资料:
【1】计算几何:算法设计与分析周培德 清华大学出版社 2005年
【2】计算几何:算法与应用德贝尔赫(邓俊辉译) 清华大学出版社 2005年
【3】计算机图形学孙家广、杨常贵清华大学出版社 1995年
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